Математический анализ Примеры

${(\frac{1 - x}{x})}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(\frac{1 - x}{x})}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(\frac{1 - x}{x})}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(\frac{1 - x}{x})}^{2} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $\frac{1 - x}{x}$ .

$\int \frac{{(1 - x)}^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 4.2

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(1 - x)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(1 - x)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int {(1 - x)}^{2} x^{- 2} d x$

Этап 5

Пусть $u_{1} = 1 - x$ . Тогда $d u_{1} = - d x$ , следовательно $- d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 5.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int - {u_{1}}^{2} {(- u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int {u_{1}}^{2} {(- u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

Этап 7

Пусть $u_{2} = - u_{1} + 1$ . Тогда $d u_{2} = - d u_{1}$ , следовательно $- d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = - u_{1} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $- u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1} + 1]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $- u_{1} + 1$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 7.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- u_{1}$ по $u_{1}$ равна $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 7.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 7.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 7.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$- 1 + 0$

Этап 7.1.4.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$- 1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \int - {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- - \int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 9.2

Умножим $\int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$ на $1$ .

$\int {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 10

Пусть $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Тогда $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Этап 10.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\int {(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}$ .

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Этап 11.2

Объединим $\frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2}$ и ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Этап 11.3

Перенесем ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Этап 11.4

Перепишем ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ в виде $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ .

$\int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(- \sqrt{u_{3}} + 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Этап 13

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{3}}$ в виде ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Этап 13.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ в виде ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Этап 13.3

Вынесем ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Этап 13.4

Перемножим экспоненты в ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Этап 13.4.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Этап 13.4.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Этап 13.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int {(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перепишем ${(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}$ в виде $(- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1) + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.8

Перенесем ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.9

Перенесем ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 (- {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.11

Умножим ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.14

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.15.1

Сократим общий множитель.

Этап 14.15.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.16

Упростим.

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.17

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

Этап 14.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.19

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.21

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 1 \cdot 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.22

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.23

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.24

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.26

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.27

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.27.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.27.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.27.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.27.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.27.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.27.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.28

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.29

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.30

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.32

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.33

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.33.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.33.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.33.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.33.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.33.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.33.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.34

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.35

Умножим ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.36

Вычтем ${u_{3}}^{- 1}$ из $- {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 14.37

Изменим порядок ${u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ и $- 2 {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int - 2 {u_{3}}^{- 1} + {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Этап 16

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int - 2 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Этап 17

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (- 2 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Этап 18

Интеграл ${u_{3}}^{- 1}$ по $u_{3}$ имеет вид $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Этап 19

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C + \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3})$

Этап 20

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 (\ln (| u_{3} |) + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C - 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C)$

Этап 21

Упростим.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| u_{3} |) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 22

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Заменим все вхождения $u_{3}$ на ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {u_{2}}^{2} |) + 2 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 22.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- u_{1} + 1)}^{2} |) + 2 {({(- u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 22.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 - x$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- (1 - x) + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 \cdot 1 - - x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 - - x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.1.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 + 1 x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(- 1 + x + 1)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.2

Объединим противоположные члены в $- 1 + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| {(x + 0)}^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (| x^{2} |) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.3

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln ({(x + 0)}^{2}) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- (1 - x) + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 \cdot 1 - - x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 - - x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.5.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 + 1 x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.5.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(- 1 + x + 1)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.6

Объединим противоположные члены в $- 1 + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.6.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 {(x + 0)}^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.6.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x^{1} - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.7

Упростим.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 23.1.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.8.1

Перемножим экспоненты в ${({(- (1 - x) + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.8.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})}}) + C$

Этап 23.1.8.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.8.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- (1 - x) + 1)}^{2 (\frac{1}{2})}}) + C$

Этап 23.1.8.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- (1 - x) + 1)}^{1}}) + C$

Этап 23.1.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 \cdot 1 - - x + 1)}^{1}}) + C$

Этап 23.1.8.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 - - x + 1)}^{1}}) + C$

Этап 23.1.8.2.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.8.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 + 1 x + 1)}^{1}}) + C$

Этап 23.1.8.2.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(- 1 + x + 1)}^{1}}) + C$

Этап 23.1.8.3

Объединим противоположные члены в $- 1 + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1.8.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{{(x + 0)}^{1}}) + C$

Этап 23.1.8.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x^{1}}) + C$

Этап 23.1.8.4

Упростим.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2}) + 2 x - \frac{2}{x}) + C$

Этап 23.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (- 2 \ln (x^{2})) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Этап 23.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Этап 23.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 (- \ln (x^{2}))) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Этап 23.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Этап 23.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$- \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 (x)) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Этап 23.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \ln (x^{2}) + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Этап 23.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} (- \frac{2}{x}) + C$

Этап 23.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{x}$ в числитель.

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x} + C$

Этап 23.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{x} + C$

Этап 23.3.3.3

Сократим общий множитель.

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{x} + C$

Этап 23.3.3.4

Перепишем это выражение.

$- \ln (x^{2}) + x + \frac{- 1}{x} + C$

Этап 23.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \ln (x^{2}) + x - \frac{1}{x} + C$

Этап 24

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(\frac{1 - x}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $- \ln (x^{2}) + x - \frac{1}{x} + C$