Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} \frac{- 2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Этап 1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{e} - \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{e} \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x)$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Этап 4.2

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{- 2}$ .

$- 2 (\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

Этап 6.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

Этап 6.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

Этап 6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

Этап 6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 8.1.2

Умножим $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ на $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 8.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Этап 8.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x)$

Этап 8.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ и $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e})$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ в $e$ и в $1$ .

$- 2 ((- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1}))$

Этап 10.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим $\ln (1)$ на $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1}))$

Этап 10.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1))$

Этап 10.2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 (- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1))$

Этап 10.2.2.4

Чтобы записать $- (- \ln (1) - 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e})$

Этап 10.2.2.5

Объединим $- (- \ln (1) - 1)$ и $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Этап 10.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 (- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Этап 10.2.2.7

Чтобы записать $- e^{- 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Этап 10.2.2.8

Объединим $- e^{- 1}$ и $\frac{e}{e}$ .

$- 2 (\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e})$

Этап 10.2.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 10.2.2.10

Возведем $e$ в степень $1$ .

$- 2 \frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 10.2.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 \frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 10.2.2.12

Вычтем $1$ из $1$ .

$- 2 \frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 10.2.2.13

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 2 \frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 10.2.2.14

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 \frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Этап 10.2.2.15

Объединим $- 2$ и $\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$ .

$\frac{- 2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Этап 10.2.2.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Этап 11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 \cdot 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Этап 11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Этап 11.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (- 0 - 1) e)}{e}$

Этап 11.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - (0 - 1) e)}{e}$

Этап 11.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 - - 1 e)}{e}$

Этап 11.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 + 1 e)}{e}$

Этап 11.6

Умножим $e$ на $1$ .

$- \frac{2 (- 1 - 1 + e)}{e}$

Этап 11.7

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{2 (- 2 + e)}{e}$

Десятичная форма:

$- 0.52848223 \dots$