Математический анализ Примеры

$\int \frac{7 x}{(2 x - 3) (x + 2)} d x$

Этап 1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int \frac{x}{(2 x - 3) (x + 2)} d x$

Этап 2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{2 x - 3}$

Этап 2.1.2

$\frac{A}{2 x - 3} + \frac{B}{x + 2}$

Этап 2.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(2 x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{x (2 x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.1.5

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.1.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{(A) (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Сократим общий множитель $2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{A (2 x - 3) (x + 2)}{2 x - 3} + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.1.6.1.2

Разделим $(A) (x + 2)$ на $1$ .

$x = (A) (x + 2) + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.1.6.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$x = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.1.6.4

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = A x + 2 A + \frac{(B) (2 x - 3) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 2.1.6.4.2

Разделим $(B) (2 x - 3)$ на $1$ .

$x = A x + 2 A + (B) (2 x - 3)$

Этап 2.1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A x + 2 A + B (2 x) + B \cdot - 3$

Этап 2.1.6.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = A x + 2 A + 2 B x + B \cdot - 3$

Этап 2.1.6.7

Перенесем $- 3$ влево от $B$ .

$x = A x + 2 A + 2 B x - 3 B$

Этап 2.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Перенесем $B$ .

$x = A x + 2 A + 2 x B - 3 B$

Этап 2.1.7.2

Перенесем $2 A$ .

$x = A x + 2 x B + 2 A - 3 B$

Этап 2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + 2 B$

Этап 2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 2 A - 3 B$

Этап 2.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

$1 = A + 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

Этап 2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + 2 B = 1$ .

$A + 2 B = 1$

$0 = 2 A - 3 B$

Этап 2.3.1.2

Вычтем $2 B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 A - 3 B$

Этап 2.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - 2 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = 2 A - 3 B$ на $1 - 2 B$ .

$0 = 2 (1 - 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Этап 2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Упростим $2 (1 - 2 B) - 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = 2 \cdot 1 + 2 (- 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Этап 2.3.2.2.1.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$0 = 2 + 2 (- 2 B) - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Этап 2.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$0 = 2 - 4 B - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 4 B - 3 B$

$A = 1 - 2 B$

Этап 2.3.2.2.1.2

Вычтем $3 B$ из $- 4 B$ .

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

$0 = 2 - 7 B$

$A = 1 - 2 B$

Этап 2.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = 2 - 7 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 - 7 B = 0$ .

$2 - 7 B = 0$

$A = 1 - 2 B$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 7 B = - 2$

$A = 1 - 2 B$

Этап 2.3.3.3

Разделим каждый член $- 7 B = - 2$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Разделим каждый член $- 7 B = - 2$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

Этап 2.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

Этап 2.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - 2 B$

Этап 2.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - 2 B$

Этап 2.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{2}{7}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - 2 B$ на $\frac{2}{7}$ .

$A = 1 - 2 (\frac{2}{7})$

$B = \frac{2}{7}$

Этап 2.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Упростим $1 - 2 (\frac{2}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1.1.1

Умножим $- 2 (\frac{2}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1.1.1.1

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{7}$ .

$A = 1 + \frac{- 2 \cdot 2}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Этап 2.3.4.2.1.1.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$A = 1 + \frac{- 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 + \frac{- 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Этап 2.3.4.2.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = 1 - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Этап 2.3.4.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{7}{7} - \frac{4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Этап 2.3.4.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{7 - 4}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Этап 2.3.4.2.1.2.3

Вычтем $4$ из $7$ .

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{3}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Этап 2.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{3}{7}, B = \frac{2}{7}$

Этап 2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{2 x - 3} + \frac{B}{x + 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{3}{7}}{2 x - 3} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{2 x - 3} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

Этап 2.5.2

Умножим $\frac{3}{7}$ на $\frac{1}{2 x - 3}$ .

$\frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 2}$

Этап 2.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Этап 2.5.4

Умножим $\frac{2}{7}$ на $\frac{1}{x + 2}$ .

$7 \int \frac{3}{7 (2 x - 3)} + \frac{2}{7 (x + 2)} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$7 (\int \frac{3}{7 (2 x - 3)} d x + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{3}{7}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{7}$ из-под знака интеграла.

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{2 x - 3} d x + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Этап 5

Пусть $u_{1} = 2 x - 3$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = 2 x - 3$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Этап 6.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$7 (\frac{3}{7} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$7 (\frac{3}{7} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{7}$ .

$7 (\frac{3}{2 \cdot 7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $7$ .

$7 (\frac{3}{14} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{7 (x + 2)} d x)$

Этап 10

Поскольку $\frac{2}{7}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{7}$ из-под знака интеграла.

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Этап 11

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 11.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 11.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 11.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$7 (\frac{3}{14} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Этап 13

Упростим.

$7 (\frac{3}{14} \ln (| u_{1} |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |)) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x - 3$ .

$7 (\frac{3}{14} \ln (| 2 x - 3 |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |)) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 2$ .

$7 (\frac{3}{14} \ln (| 2 x - 3 |) + \frac{2}{7} \ln (| x + 2 |)) + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $\frac{3}{14}$ и $\ln (| 2 x - 3 |)$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2}{7} \ln (| x + 2 |)) + C$

Этап 15.1.2

Объединим $\frac{2}{7}$ и $\ln (| x + 2 |)$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}) + C$

Этап 15.2

Чтобы записать $\frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7} \cdot \frac{2}{2}) + C$

Этап 15.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $14$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $\frac{2 \ln (| x + 2 |)}{7}$ на $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 \cdot 2}) + C$

Этап 15.3.2

Умножим $7$ на $2$ .

$7 (\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |)}{14} + \frac{2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{14}) + C$

Этап 15.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{14} + C$

Этап 15.5

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Вынесем множитель $7$ из $14$ .

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 (2)} + C$

Этап 15.5.2

Сократим общий множитель.

$7 \frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{7 \cdot 2} + C$

Этап 15.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 2 \ln (| x + 2 |) \cdot 2}{2} + C$

Этап 15.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 \ln (| 2 x - 3 |) + 4 \ln (| x + 2 |)}{2} + C$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} (3 \ln (| 2 x - 3 |) + 4 \ln (| x + 2 |)) + C$