Математический анализ Примеры

$y = \ln (| \sin (x) |)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| \sin (x) |))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = | \sin (x) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $| \sin (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $| \sin (x) |$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [| \sin (x) |]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.2.2

Производная $| u_{2} |$ по $u_{2}$ равна $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$\frac{1}{| \sin (x) |} (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.3

Умножим $\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |}$ на $\frac{1}{| \sin (x) |}$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) | | \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.4

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{\sin (x)}{| \sin (x) \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.5

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{1} (x) \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.6

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin (x)}{| {\sin (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.9

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |} \cos (x)$

Этап 3.10

Объединим $\frac{\sin (x)}{| \sin^{2} (x) |}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin^{2} (x) |}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{| \sin^{2} (x) |}$

Этап 3.11.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.11.3

Сократим общий множитель $\sin (x)$ и $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3.11.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 3.11.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 3.11.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.11.4

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \cot (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$