Математический анализ Примеры

$x^{2} + 5 y^{3} = x + 9$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 y^{3}) = \frac{d}{d x} (x + 9)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 5 y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x + 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 5 (3 y^{2} y')$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $5$ .

$2 x + 15 y^{2} y'$

Этап 2.3

Изменим порядок членов.

$15 y^{2} y' + 2 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 3.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$15 y^{2} y' + 2 x = 1$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$15 y^{2} y' = 1 - 2 x$

Этап 5.2

Разделим каждый член $15 y^{2} y' = 1 - 2 x$ на $15 y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $15 y^{2} y' = 1 - 2 x$ на $15 y^{2}$ .

$\frac{15 y^{2} y'}{15 y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15 y^{2} y'}{15 y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{15 y^{2}} + \frac{- 2 x}{15 y^{2}}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{15 y^{2}} - \frac{2 x}{15 y^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{15 y^{2}} - \frac{2 x}{15 y^{2}}$