Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{2^{4 x}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2^{4 x}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $\frac{1}{2^{4 x}}$ в виде ${(2^{4 x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2^{4 x})}^{- 1}]$

Этап 3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{4 x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [2^{4 x \cdot - 1}]$

Этап 3.1.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{d}{d x} [2^{- 4 x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 2^{x}$ и $g (x) = - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 4 x$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \cdot 1)$

Этап 3.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) \cdot - 4$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $- 4$ влево от $2^{- 4 x} \ln (2)$ .

$- 4 \cdot (2^{- 4 x} \ln (2))$

Этап 3.3.3.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- (4 \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

Этап 3.3.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- (2^{2} \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$