Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (1 - 8 x^{3} + 16 x^{7}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} 1 - 8 x^{3} + 16 x^{7} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - 8 x^{3} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{7} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 8 x^{3} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{7} d x$

Этап 4

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{1} - 8 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{7} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x]_{0}^{1} - 8 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{7} d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$x]_{0}^{1} - 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{7} d x$

Этап 7

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$x]_{0}^{1} - 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 \int_{0}^{1} x^{7} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{7}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$x]_{0}^{1} - 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{1}{8} x^{8}]_{0}^{1})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $x^{8}$ .

$x]_{0}^{1} - 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{8}}{8}]_{0}^{1})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $x$ в $1$ и в $0$ .

$(1) + 0 - 8 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{8}}{8}]_{0}^{1})$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $1$ и в $0$ .

$1 + 0 - 8 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{x^{8}}{8}]_{0}^{1})$

Этап 9.2.3

Найдем значение $\frac{x^{8}}{8}$ в $1$ и в $0$ .

$1 + 0 - 8 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - 8 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.4

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$1 - 8 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4} - 0) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4} + 0) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.6

Добавим $\frac{1}{4}$ и $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{4}) + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.7

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{4}$ .

$1 + \frac{- 8}{4} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.8

Сократим общий множитель $- 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.8.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$1 + \frac{4 \cdot - 2}{4} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$1 + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- 2}{1} + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.8.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$1 - 2 + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.9

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 1 + 16 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.10

Единица в любой степени равна единице.

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{0^{8}}{8})$

Этап 9.2.4.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{0}{8})$

Этап 9.2.4.12

Сократим общий множитель $0$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.12.1

Вынесем множитель $8$ из $0$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{8 (0)}{8})$

Этап 9.2.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.12.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1})$

Этап 9.2.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1})$

Этап 9.2.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - \frac{0}{1})$

Этап 9.2.4.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} - 0)$

Этап 9.2.4.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8} + 0)$

Этап 9.2.4.14

Добавим $\frac{1}{8}$ и $0$ .

$- 1 + 16 (\frac{1}{8})$

Этап 9.2.4.15

Объединим $16$ и $\frac{1}{8}$ .

$- 1 + \frac{16}{8}$

Этап 9.2.4.16

Сократим общий множитель $16$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.16.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$- 1 + \frac{8 \cdot 2}{8}$

Этап 9.2.4.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.16.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$- 1 + \frac{8 \cdot 2}{8 (1)}$

Этап 9.2.4.16.2.2

Сократим общий множитель.

$- 1 + \frac{8 \cdot 2}{8 \cdot 1}$

Этап 9.2.4.16.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 + \frac{2}{1}$

Этап 9.2.4.16.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 1 + 2$

Этап 9.2.4.17

Добавим $- 1$ и $2$ .

$1$

Этап 10