Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}} d x$

Этап 4

Пусть $u = \ln (x) + 1$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \ln (x) + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\ln (x) + 1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $\ln (x) + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x} + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 5.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x) + 1$ .

$2 {(\ln (x) + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$ .

$F (x) =$ $2 {(\ln (x) + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$