Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 x^{5} + 2}{4 x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{3 x^{5} + 2}{x^{2}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{4} \int (3 x^{5} + 2) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (3 x^{5} + 2) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (3 x^{5} + 2) x^{- 2} d x$

Этап 3

Умножим $(3 x^{5} + 2) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int 3 x^{5} x^{- 2} + 2 x^{- 2} d x$

Этап 4

Умножим $x^{5}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int 3 (x^{- 2} x^{5}) + 2 x^{- 2} d x$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} \int 3 x^{- 2 + 5} + 2 x^{- 2} d x$

Этап 4.3

Добавим $- 2$ и $5$ .

$\frac{1}{4} \int 3 x^{3} + 2 x^{- 2} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{4} (\int 3 x^{3} d x + \int 2 x^{- 2} d x)$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (3 \int x^{3} d x + \int 2 x^{- 2} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 2 x^{- 2} d x)$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 \int x^{- 2} d x)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (- x^{- 1} + C))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{1}{4} (\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{2}{x}) + C$

Этап 10.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} (\frac{3}{4} x^{4} - \frac{2}{x}) + C$