Математический анализ Примеры

$\int 4 x^{2} {(3 x + 1)}^{2} d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x^{2} {(3 x + 1)}^{2} d x$

Этап 2

Развернем $x^{2} {(3 x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(3 x + 1)}^{2}$ в виде $(3 x + 1) (3 x + 1)$ .

$4 \int x^{2} ((3 x + 1) (3 x + 1)) d x$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1)) d x$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1)) d x$

Этап 2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

Этап 2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

Этап 2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x)) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x) + 1 \cdot 1) d x$

Этап 2.7

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \int x^{2} (3 x (3 x)) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Этап 2.8

Перенесем $x$ .

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x) + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Этап 2.9

Перенесем круглые скобки.

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3 x) x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Этап 2.10

Перенесем круглые скобки.

$4 \int x^{2} (3 \cdot 3) x \cdot x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Этап 2.11

Перенесем $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 x \cdot 1) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Этап 2.12

Перенесем $x$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 \cdot 1 x) + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Этап 2.13

Перенесем круглые скобки.

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + x^{2} (3 \cdot 1) x + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Этап 2.14

Перенесем $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 (3 x)) + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Этап 2.15

Перенесем круглые скобки.

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot 3) x + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Этап 2.16

Перенесем $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot 1) d x$

Этап 2.17

Перенесем $x^{2}$ .

$4 \int 3 \cdot 3 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.18

Умножим $3$ на $3$ .

$4 \int 9 x^{2} x \cdot x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.19

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \int 9 (x^{2} x^{1}) x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \int 9 x^{2 + 1} x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.21

Добавим $2$ и $1$ .

$4 \int 9 x^{3} x + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.22

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \int 9 (x^{3} x^{1}) + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.23

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \int 9 x^{3 + 1} + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.24

Добавим $3$ и $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.25

Умножим $3$ на $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{2} x + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.26

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 (x^{2} x^{1}) + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.27

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{2 + 1} + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.28

Добавим $2$ и $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 1 \cdot 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.29

Умножим $3$ на $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} x + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.30

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 (x^{2} x^{1}) + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.31

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2 + 1} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.32

Добавим $2$ и $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Этап 2.33

Умножим $1$ на $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + 1 x^{2} d x$

Этап 2.34

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$4 \int 9 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{3} + x^{2} d x$

Этап 2.35

Добавим $3 x^{3}$ и $3 x^{3}$ .

$4 \int 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2} d x$

$4 \int 9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4 (\int 9 x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

Этап 4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$4 (9 \int x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 6 x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

Этап 6

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 \int x^{3} d x + \int x^{2} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{2} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (9 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 9.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 9.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{x^{3}}{3} + C)$

$4 (9 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{x^{3}}{3} + C)$

Этап 9.2

Упростим.

$4 (\frac{9 x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{3}) + C$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$4 (\frac{9}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}) + C$

$4 (\frac{9}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$