Математический анализ Примеры

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(3x-1)}^{\frac{1}{2}}}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left({(3x-1)}^{\frac{1}{2}}\right)}^2}$.

Упростим.

Продифференцируем, используя правило степени.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=3x-1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим дроби.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 3x-1}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[3x\right]+\frac{d}{dx}[-1]}$.

Поскольку ${\displaystyle 3}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 3x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 3\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle 1}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Объединим дроби.

Чтобы записать ${\displaystyle {(3x-1)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2{(3x-1)}^{\frac{1}{2}}}{2{(3x-1)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Объединим ${\displaystyle {(3x-1)}^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle \frac{2{(3x-1)}^{\frac{1}{2}}}{2{(3x-1)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Умножим ${\displaystyle {(3x-1)}^{\frac{1}{2}}}$ на ${\displaystyle {(3x-1)}^{\frac{1}{2}}}$, сложив экспоненты.

Упростим ${\displaystyle {(3x-1)}^1\cdot 2}$.

Перенесем ${\displaystyle 2}$ влево от ${\displaystyle 3x-1}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{\frac{2(3x-1)-3x}{2{(3x-1)}^{\frac{1}{2}}}}{3x-1}}$ в виде произведения.

Умножим ${\displaystyle \frac{2(3x-1)-3x}{2{(3x-1)}^{\frac{1}{2}}}}$ на ${\displaystyle \frac{1}{3x-1}}$.

Возведем ${\displaystyle 3x-1}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Упростим выражение.

Объединим ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle \frac{2(3x-1)-3x}{2{(3x-1)}^{\frac{3}{2}}}}$.

Сократим общий множитель.

Перепишем это выражение.

Упростим.

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=3x-2}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(3x-1)}^{\frac{3}{2}}}$.

Продифференцируем.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{3}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=3x-1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ и ${\displaystyle {(3x-1)}^{\frac{1}{2}}}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 3x-1}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[3x\right]+\frac{d}{dx}[-1]}$.

Поскольку ${\displaystyle 3}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 3x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 3\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle 1}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.