Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{2 p x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 p x}$ в виде ${(2 p x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 p x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 p x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (p x))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2.2

Применим правило умножения к $2 (p x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3

Поскольку $2^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(p x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(p x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = p x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $p x$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [p x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [p x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $p x$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [p x])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(p x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{{(p x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [p x])$

Этап 9

Перенесем ${(p x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x])$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Этап 11

Перенесем $2^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Этап 12

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Этап 12.2

Умножим $2^{- \frac{1}{2}}$ на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Этап 12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + 1} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Этап 12.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Этап 12.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Этап 12.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Этап 13

Поскольку $p$ является константой относительно $x$ , производная $p x$ по $x$ равна $p \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} (p \frac{d}{d x} [x])$

Этап 14

Объединим $p$ и $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 16

Умножим $\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Применим правило умножения к $p x$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} (p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 17.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Перенесем $p^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{p \cdot p^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.2

Умножим $p$ на $p^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1

Умножим $p$ на $p^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1.1

Возведем $p$ в степень $1$ .

$\frac{p^{1} p^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{p^{1 - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{p^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{p^{\frac{2 - 1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{p^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$