Математический анализ Примеры

$4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 \sqrt{x} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \sqrt{x} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 5 d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 x + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 9

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Этап 10

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 11

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 11.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 11.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 \int x^{- 2} d x$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 5 x + C + 3 (- x^{- 1} + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 x + 3 (- x^{- 1}) + C$

Этап 13.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

Этап 13.2.2

Изменим порядок членов.

$\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 4 \sqrt{x} + 5 + \frac{3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{8}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 x - 3 x^{- 1} + C$