Математический анализ Примеры

$y = \frac{(4 x + 2)}{5 x}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x + 2}{5 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{4 x + 2}{x}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{4 x + 2}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 4 x + 2$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [4 x + 2] - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 + 0) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \cdot 4 - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 \cdot x - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 x - (4 x + 2) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 3.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 x - (4 x + 2)}{x^{2}}$

Этап 3.8.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{4 x - (4 x + 2)}{x^{2}}$ .

$\frac{4 x - (4 x + 2)}{5 x^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x - (4 x) - 1 \cdot 2}{5 x^{2}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{4 x - 4 x - 1 \cdot 2}{5 x^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 x - 4 x - 2}{5 x^{2}}$

Этап 4.2.2

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$\frac{0 - 2}{5 x^{2}}$

Этап 4.2.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{- 2}{5 x^{2}}$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{5 x^{2}}$