Математический анализ Примеры

$\frac{1 + \ln (x)}{x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + \ln (x)$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 + \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 - (1 + \ln (x)) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - (1 + \ln (x))}{x^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Этап 5.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 - \ln (x)}{x^{2}}$

Этап 5.2.3

Вычтем $\ln (x)$ из $0$ .

$\frac{- \ln (x)}{x^{2}}$

Этап 5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\ln (x)}{x^{2}}$