Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} x^{4} e^{2 x^{5} - 7} d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 x^{5} - 7$ . Тогда $d u = 10 x^{4} d x$ , следовательно $\frac{1}{10} d u = x^{4} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x^{5} - 7$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x^{5} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 7]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $2 x^{5} - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{5}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $5$ на $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 x^{4} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $10 x^{4}$ и $0$ .

$10 x^{4}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x^{5} - 7$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{5} - 7$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 - 7$

Этап 1.3.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 - 7$

Этап 1.3.2

Вычтем $7$ из $0$ .

$u_{lower} = - 7$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x^{5} - 7$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{5} - 7$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 7$

Этап 1.5.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u_{upper} = 2 - 7$

Этап 1.5.2

Вычтем $7$ из $2$ .

$u_{upper} = - 5$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 7$

$u_{upper} = - 5$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 7}^{- 5} e^{u} \frac{1}{10} d u$

Этап 2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{10}$ .

$\int_{- 7}^{- 5} \frac{e^{u}}{10} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{10}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{10}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{10} \int_{- 7}^{- 5} e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{10} e^{u}]_{- 7}^{- 5}$

Этап 5

Найдем значение $e^{u}$ в $- 5$ и в $- 7$ .

$\frac{1}{10} (e^{- 5} - e^{- 7})$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{10} \cdot (e^{- 5} - e^{- 7})$

Десятичная форма:

$0.00058260 \dots$