Математический анализ Примеры

$3 y^{3} + x y - 6 x + 3 = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (3 y^{3} + x y - 6 x + 3) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 y^{3} + x y - 6 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 y^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $3$ .

$9 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$9 y^{2} y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.4

Умножим $y$ на $1$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.4.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y - 6 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y - 6 + 0$

Этап 2.6

Добавим $9 y^{2} y' + x y' + y - 6$ и $0$ .

$9 y^{2} y' + x y' + y - 6$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$9 y^{2} y' + x y' + y - 6 = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} y' + x y' - 6 = - y$

Этап 5.1.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$9 y^{2} y' + x y' = - y + 6$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $9 y^{2} y' + x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $9 y^{2} y'$ .

$y' (9 y^{2}) + x (y') = - y + 6$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' (9 y^{2}) + y' (x) = - y + 6$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (9 y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (9 y^{2} + x) = - y + 6$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (9 y^{2} + x) = - y + 6$ на $9 y^{2} + x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (9 y^{2} + x) = - y + 6$ на $9 y^{2} + x$ .

$\frac{y' (9 y^{2} + x)}{9 y^{2} + x} = \frac{- y}{9 y^{2} + x} + \frac{6}{9 y^{2} + x}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $9 y^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (9 y^{2} + x)}{9 y^{2} + x} = \frac{- y}{9 y^{2} + x} + \frac{6}{9 y^{2} + x}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y}{9 y^{2} + x} + \frac{6}{9 y^{2} + x}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y + 6}{9 y^{2} + x}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{- (y) + 6}{9 y^{2} + x}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$y' = \frac{- (y) - 1 (- 6)}{9 y^{2} + x}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- 6)$ .

$y' = \frac{- (y - 6)}{9 y^{2} + x}$

Этап 5.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перепишем $- (y - 6)$ в виде $- 1 (y - 6)$ .

$y' = \frac{- 1 (y - 6)}{9 y^{2} + x}$

Этап 5.3.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y - 6}{9 y^{2} + x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 6}{9 y^{2} + x}$