Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} d x$

Этап 1

Перепишем $\frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{\sec (x)}{\tan (x)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{\sec (x)}{\tan (x)})}^{2} d x$

Этап 2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\int {(\frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Этап 3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\int {(\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Этап 4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\int {(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Этап 5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\int {(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$\int {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} d x$

Этап 6

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) d x$

Этап 7

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) + C$