Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - 3 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Этап 1

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- 3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = \csc (x)$ . Тогда $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \csc (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Этап 2.1.3

Изменим порядок множителей в $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{4})$

Этап 2.3

Точное значение $\csc (\frac{π}{4})$ : $\sqrt{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Этап 2.5

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - 1 u d u$

Этап 3

Перепишем $- 1 u$ в виде $- u$ .

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - u d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 3 (- \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$3 \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{u^{2}}{2}$ в $1$ и в $\sqrt{2}$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Этап 8.2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

Этап 8.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

Этап 8.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Этап 8.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Этап 8.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{2})$

Этап 8.2.2.5

Найдем экспоненту.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Этап 8.2.3.2

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 8.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1)$

Этап 8.2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 8.2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Этап 8.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 8.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 \frac{1 - 2}{2}$

Этап 8.2.8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 (\frac{- 1}{2})$

Этап 8.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (- \frac{1}{2})$

Этап 8.2.10

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Этап 8.2.11

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Этап 8.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$- 1.5$

Форма смешанных чисел:

$- 1 \frac{1}{2}$