Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Этап 1.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{x \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} (\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})) \frac{2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Этап 2.1.2

Умножим $\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ на $\frac{2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$ .

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{(\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot 2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Этап 2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Этап 3.1.2.3

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Найдем предел $\arcsin (x)$ , подставив значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ для $x$ .

$2 \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Этап 3.1.2.3.2

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$2 \frac{\frac{π}{3} - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Этап 3.1.2.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$2 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Этап 3.1.2.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{\frac{π - π}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Этап 3.1.2.4.3

Вычтем $π$ из $π$ .

$2 \frac{\frac{0}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Этап 3.1.2.4.4

Разделим $0$ на $3$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}}$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}}$

Этап 3.1.3.1.3

Найдем предел $\sqrt{3}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x - \sqrt{3}}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ для $x$ .

$2 \frac{0}{2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}}$

Этап 3.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{0}{2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}}$

Этап 3.1.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{0}{\sqrt{3} - \sqrt{3}}$

Этап 3.1.3.3.2

Вычтем $\sqrt{3}$ из $\sqrt{3}$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot 2 - \sqrt{3}} = lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Этап 3.3.2

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $\arcsin (x) - \frac{π}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Этап 3.3.4

Производная $\arcsin (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Этап 3.3.5

Поскольку $- \frac{π}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{π}{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Этап 3.3.6

Добавим $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ и $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

Этап 3.3.7

По правилу суммы производная $x \cdot 2 - \sqrt{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Этап 3.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Этап 3.3.8.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Этап 3.3.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Этап 3.3.8.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $- \sqrt{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \sqrt{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + 0}$

Этап 3.3.10

Добавим $2$ и $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot 2}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 4.4

Внесем предел под знак радикала.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1 - x^{2}}}$

Этап 4.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x^{2}}}$

Этап 4.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x^{2}}}$

Этап 4.7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x)}^{2}}}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ для $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

Этап 6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}}$

Этап 6.3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}}$

Этап 6.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}}$

Этап 6.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}$

Этап 6.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}$

Этап 6.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{2^{2}}}}$

Этап 6.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{2^{2}}}}$

Этап 6.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}}$

Этап 6.3.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}}$

Этап 6.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 3}{4}}}$

Этап 6.3.6

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$

Этап 6.3.7

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}}$

Этап 6.3.8

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{4}}}$

Этап 6.3.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2^{2}}}}$

Этап 6.3.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 6.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \cdot 2$

Этап 6.5

Умножим $2$ на $1$ .

$2$