Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} (x^{2} - 9) \frac{x - 3}{| x - 3 |}$

Этап 1

Умножим $x^{2} - 9$ на $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$

Этап 2

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 3^{-}} \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$

Этап 3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$ , когда $x$ стремится к $3$ слева.

$\begin{array}{c} x & \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |} \\ 2.9 & 0.59 \\ 2.99 & 0.0599 \\ 2.999 & 0.005999 \\ 2.9999 & 0.0005\overline{9} \\ 2.99999 & 0.00005\overline{9} \\ 2.999999 & 0.000005\overline{9} \end{array}$

Этап 4

Если значения $x$ стремятся к $3$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$ , когда $x$ стремится к $3$ слева, равен $0$ .

$0$

Этап 5

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 3^{+}} \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$

Этап 6

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$ , когда $x$ стремится к $3$ справа.

$\begin{array}{c} x & \frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |} \\ 3.1 & 0.61 \\ 3.01 & 0.0601 \\ 3.001 & 0.006001 \\ 3.0001 & 0.00060001 \\ 3.00001 & 0.00006 \\ 3.000001 & 0.000006 \end{array}$

Этап 7

Если значения $x$ стремятся к $3$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\frac{(x^{2} - 9) (x - 3)}{| x - 3 |}$ , когда $x$ стремится к $3$ справа, равен $0$ .

$0$