Математический анализ Примеры

$x \cdot \sin (2 x)$

Этап 1

Запишем $x \cdot \sin (2 x)$ в виде функции.

$f (x) = x \cdot \sin (2 x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x \cdot \sin (2 x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Этап 5.2

Объединим $x$ и $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Этап 6

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Этап 7.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

Этап 8

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 8.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 9

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Этап 12

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перепишем $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ в виде $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Этап 13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Этап 13.2.2

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Этап 15

Изменим порядок множителей в $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x \cdot \sin (2 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$