Математический анализ Примеры

$\int \frac{9 x}{\sqrt{3 x^{2} + 8}} d x$

Этап 1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} + 8}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 x^{2} + 8$ . Тогда $d u = 6 x d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 x^{2} + 8$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $6 x$ и $0$ .

$6 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{6}$ .

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

Этап 3.2

Перенесем $6$ влево от $\sqrt{u}$ .

$9 \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $9$ .

$\frac{9}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 (3)}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 5.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 5.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 5.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $\frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2} + 8$ .

$3 {(3 x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + C$