Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{2 x^{2} - 50}{3 x - 15}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} - 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} - lim_{x \to 5} 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $50$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 5^{2} - 1 \cdot 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 25 - 1 \cdot 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $2$ на $25$ .

$\frac{50 - 1 \cdot 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $50$ .

$\frac{50 - 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $50$ из $50$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 3 x - lim_{x \to 5} 15}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 15}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $15$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 15}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 5 - 1 \cdot 15}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{0}{15 - 1 \cdot 15}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $15$ .

$\frac{0}{15 - 15}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $15$ из $15$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 5} \frac{2 x^{2} - 50}{3 x - 15} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 50$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 50$ является константой относительно $x$ , производная $- 50$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x + 0}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Этап 1.3.5

Добавим $4 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $3 x - 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3 + \frac{d}{d x} [- 15]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $3$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3}$

Этап 2

Вынесем член $\frac{4}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4}{3} lim_{x \to 5} x$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot 5$

Этап 4

Умножим $\frac{4}{3} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $5$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3}$

Этап 4.2

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{20}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{20}{3}$

Десятичная форма:

$6.\overline{6}$