Математический анализ Примеры

$\int \frac{18 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $18$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $18$ из-под знака интеграла.

$18 \int \frac{\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ . Тогда $d u_{2} = 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 + \tan^{3} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + \tan^{3} (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $2 + \tan^{3} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (x)$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 2.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 + 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 2.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (x)$ .

$0 + 3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 2.1.3.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$0 + 3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Добавим $0$ и $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Этап 2.1.4.2

Изменим порядок множителей в $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

Этап 3.2

Перенесем $3$ влево от ${u_{2}}^{2}$ .

$18 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$18 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $18$ .

$\frac{18}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $18$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 5.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 5.1.2.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем ${u_{2}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$6 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 5.2.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 5.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 6

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- 2}$ по $u_{2}$ имеет вид $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ в виде $6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 \frac{1}{u_{2}} + C$

Этап 7.2.2

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 6}{u_{2}} + C$

Этап 7.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{u_{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 + \tan^{3} (x)$ .

$- \frac{6}{2 + \tan^{3} (x)} + C$