Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$ в виде $e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})$ , вынося $\frac{1}{x}$ из логарифма.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (2 + x)}$

Этап 2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\ln (2 + x)$ .

$lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}} \\ - 0.1 & 0.00163103 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & 0 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $0$ .

$0$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Этап 7

Когда $x$ стремится к $0$ справа, функция неограниченно возрастает.

$\infty$

Этап 8

Так как правосторонний и левосторонний пределы не равны, предел не существует.

$Не существует$