Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 x^{2} + x$

Этап 1

Квадратичная функция достигает минимума в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если $a$ принимает положительные значения, то минимальным значением функции будет $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{минимум}$ $x = a x^{2} + b x + c$ входит в $x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 2

Найдем значение $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим в значения $a$ и $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (7)}$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$x = - \frac{1}{2 (7)}$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $7$ .

$x = - \frac{1}{14}$

Этап 3

Найдем значение $f (- \frac{1}{14})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{14}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 {(- \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{14}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 {(- \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{14}$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{14}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{14})}^{2}) - \frac{1}{14}$

Этап 3.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{14}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{14^{2}})) - \frac{1}{14}$

Этап 3.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (1 (\frac{1^{2}}{14^{2}})) - \frac{1}{14}$

Этап 3.2.2.3

Умножим $\frac{1^{2}}{14^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1^{2}}{14^{2}}) - \frac{1}{14}$

Этап 3.2.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{14^{2}}) - \frac{1}{14}$

Этап 3.2.2.5

Возведем $14$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{196}) - \frac{1}{14}$

Этап 3.2.2.6

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.6.1

Вынесем множитель $7$ из $196$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{7 (28)}) - \frac{1}{14}$

Этап 3.2.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{7 \cdot 28}) - \frac{1}{14}$

Этап 3.2.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{1}{14}$

Этап 3.2.3

Чтобы записать $- \frac{1}{14}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{1}{14} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $28$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $\frac{1}{14}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{2}{14 \cdot 2}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $14$ на $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{2}{28}$

Этап 3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1 - 2}{28}$

Этап 3.2.6

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{- 1}{28}$

Этап 3.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{14}) = - \frac{1}{28}$

Этап 3.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{1}{28}$ .

$- \frac{1}{28}$

Этап 4

Используем значения $x$ и $y$ , чтобы найти, где достигается минимум.

$(- \frac{1}{14}, - \frac{1}{28})$

Этап 5