Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 31 x}{8 x^{4} - 31 x^{2} + 12}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{5}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $2 x^{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4} (2 x)}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4} (2 x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4} (2 x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{1} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.1.1.2.4

Разделим $2 x$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.1.2.2

Разделим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.1.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $- 31 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{x \cdot - 31}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{x \cdot - 31}{x \cdot x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{x \cdot - 31}{x \cdot x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{- 31}{x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $8$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 31 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{x^{2} \cdot - 31}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{x^{2} \cdot - 31}{x^{2} x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{x^{2} \cdot - 31}{x^{2} x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{- 31}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 - \frac{31}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 3

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{31}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - 0}{8 - \frac{31}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 4

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{31}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - 0}{8 - 0 + \frac{12}{x^{4}}}$

Этап 5

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{12}{x^{4}}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - 0}{8 - 0 + 0}$

Этап 6

Так как числитель не ограничен, когда знаменатель стремится к постоянному числу, дробь $\frac{2 x + 3 - 0}{8 - 0 + 0}$ стремится к бесконечности.

$\infty$