Математический анализ Примеры

$y = {(\frac{4 x^{2}}{6 - 2 x^{2}})}^{5}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x^{2}}{6 - 2 x^{2}})}^{5})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $4$ и $6 - 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{6 - 2 x^{2}})}^{5}]$

Этап 3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) - 2 x^{2}})}^{5}]$

Этап 3.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) + 2 (- x^{2})})}^{5}]$

Этап 3.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3) + 2 (- x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{5}]$

Этап 3.1.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{5}]$

Этап 3.1.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{5}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = \frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{6 - 2 x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Этап 3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) - 2 x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Этап 3.2.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) + 2 (- x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Этап 3.2.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3) + 2 (- x^{2})$ .

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Этап 3.2.3.2.4

Сократим общий множитель.

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Этап 3.2.3.2.5

Перепишем это выражение.

$5 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}]$ .

$5 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}])$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $5$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 3 - x^{2}$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{(3 - x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.2

Перенесем $2$ влево от $3 - x^{2}$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 \cdot (3 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.3

По правилу суммы производная $3 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.7.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{2} (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перенесем $x$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{1 + 2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.7

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + 2 \cdot x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.8

Объединим $\frac{2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ и $10$ .

$\frac{(2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}) \cdot 10}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4}$

Этап 3.9

Перенесем $10$ влево от $2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}$ .

$\frac{10 \cdot (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4}$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Применим правило умножения к $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

$\frac{10 (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(2 x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.2

Применим правило умножения к $2 x^{2}$ .

$\frac{10 (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{10 ((2 \cdot 3 + 2 (- x^{2})) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{10 (2 \cdot 3 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{10 (2 \cdot 3 x) + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.6.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{10 (6 x) + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.2

Умножим $6$ на $10$ .

$\frac{60 x + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{2} x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{60 x + 10 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{1 + 2}) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.6

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{3}) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.7

Умножим $- 2$ на $10$ .

$\frac{60 x - 20 x^{3} + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.8

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{60 x - 20 x^{3} + 20 x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.9

Добавим $- 20 x^{3}$ и $20 x^{3}$ .

$\frac{60 x + 0}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.10

Добавим $60 x$ и $0$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.11

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.12

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.6.12.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 x^{2 \cdot 4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.12.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.13

Умножим $\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ на $\frac{16 x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$ .

$\frac{60 x (16 x^{8})}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.14

Умножим $16$ на $60$ .

$\frac{960 x \cdot x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.15

Умножим $x$ на $x^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.6.15.1

Перенесем $x^{8}$ .

$\frac{960 (x^{8} x)}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.15.2

Умножим $x^{8}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.6.15.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{960 (x^{8} x^{1})}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.15.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{960 x^{8 + 1}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.15.3

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Этап 3.10.6.16

Умножим ${(3 - x^{2})}^{2}$ на ${(3 - x^{2})}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.6.16.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{2 + 4}}$

Этап 3.10.6.16.2

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{6}}$

Этап 3.10.7

Изменим порядок членов.

$\frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$