Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} - 4$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.8

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.9

Объединим $\frac{3}{2}$ и ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ и $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2})$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 u \frac{d}{d x} (x - 2))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $2$ и $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Этап 2.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{6}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Этап 2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Этап 2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{3}{1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Этап 2.3.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$f'' (x) = 3 ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + 0)$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) \cdot 1$

Этап 2.3.6.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 3 x + 3 \cdot - 2$

Этап 2.4.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 3 x - 6$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.2.3

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.2.8

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.2.9

Объединим $\frac{3}{2}$ и ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

Этап 4.1.3.2

Добавим $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Разделим каждый член $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ на $3$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.3.1.2.1.2

Разделим ${(x - 2)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

Этап 5.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 5.3.2

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.3.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$3 (2) - 6$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $3$ на $2$ .

$6 - 6$

Этап 9.2

Вычтем $6$ из $6$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, 2)$ в первую производную $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{3 {((0) - 2)}^{2}}{2}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Вычтем $2$ из $0$ .

$f' (0) = \frac{3 {(- 2)}^{2}}{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (0) = \frac{12}{2}$

Этап 10.2.2.2.2

Разделим $12$ на $2$ .

$f' (0) = 6$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(2, \infty)$ в первую производную $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{3 {((4) - 2)}^{2}}{2}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Вычтем $2$ из $4$ .

$f' (4) = \frac{3 \cdot 2^{2}}{2}$

Этап 10.3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (4) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

Этап 10.3.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{12}{2}$

Этап 10.3.2.2.2

Разделим $12$ на $2$ .

$f' (4) = 6$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

Этап 10.4

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 2$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.5

Локальный минимум или минимум для $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 11