Математический анализ Примеры

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(\sin (x) - \cos (x))}^{2} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ в виде $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ .

$\int (\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Этап 4.2

Развернем $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Этап 4.3.1.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Этап 4.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Этап 4.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Этап 4.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Этап 4.3.1.3

Умножим $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 4.3.1.3.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 4.3.1.3.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Этап 4.3.1.3.4

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Этап 4.3.1.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Этап 4.3.1.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Этап 4.3.2

Изменим порядок множителей в $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Этап 4.3.3

Вычтем $\cos (x) \sin (x)$ из $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Этап 4.4

Перенесем $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 4.5

Применим формулу Пифагора.

$\int 1 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$x + C - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 8

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 8.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x + C - 2 \int - u d u$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x + C - 2 (- \int u d u)$

Этап 10

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$x + C + 2 \int u d u$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$x + C + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

$x + 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Этап 12.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Этап 12.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x + 1 u^{2} + C$

Этап 12.2.3

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$x + u^{2} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$x + \cos^{2} (x) + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \cos^{2} (x) + C$