Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - 1}{x - 1}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{x - 1}$

Этап 1.2

Объединим $- 1$ и $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{- \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{x - 1}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{x - 1}$

Этап 2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} (x - 1)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Этап 3.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Этап 3.1.2.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 3.1.3.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 3.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}$

Этап 3.1.3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 3.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Этап 3.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 3.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{0}{1 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 3.1.3.6.2

Умножим $1 - 1 \cdot 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 3.1.3.6.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.6.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} (x - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $1 - \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.4.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.5

Вычтем $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Этап 3.3.6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 1)]}$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 3.3.8

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 3.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 3.3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 3.3.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 3.3.12

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 3.3.13

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Этап 3.3.14

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Этап 3.3.15

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Этап 3.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Этап 3.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.17.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Этап 3.3.17.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Этап 3.3.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Этап 3.3.19

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 3.3.20

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.3.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.3.21.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.21.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.3.21.2.2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.3.21.2.3

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.21.2.3.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.21.2.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.3.21.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.3.21.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.3.21.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.3.21.2.3.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.3.21.2.4

Перепишем $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ в виде $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.3.21.2.5

Чтобы записать $x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.3.21.2.6

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.3.21.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.3.21.2.8

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.3.21.2.9

Добавим $2 x^{\frac{1}{2}}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.5

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 3.5.3

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Этап 3.6

Умножим $\frac{1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$ на $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{(\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (2 \sqrt{x})}$

Этап 3.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Чтобы записать $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{(\frac{3 \sqrt{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (2 \sqrt{x})}$

Этап 3.7.2

Умножим $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{(\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (2 \sqrt{x})}$

Этап 3.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (2 \sqrt{x})}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (2 \sqrt{x})}$

Этап 4.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt{x})}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt{x})}$

Этап 4.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt{x})}$

Этап 4.5

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Этап 4.6

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Этап 4.7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Этап 4.8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 \sqrt{x} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Этап 4.9

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Этап 4.10

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Этап 4.11

Внесем предел под знак радикала.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Этап 4.12

Внесем предел под знак радикала.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Этап 4.13

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Этап 4.14

Внесем предел под знак радикала.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Этап 4.15

Внесем предел под знак радикала.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Этап 5.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Этап 6.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Этап 6.1.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Этап 6.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Этап 6.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Этап 6.1.6

Вычтем $1$ из $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Этап 6.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \sqrt{1}}$

Этап 6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} \sqrt{1}}$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{2}{2}$ и $\sqrt{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \sqrt{1}}{2}}$

Этап 6.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2}}$

Этап 6.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Этап 6.6

Разделим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 6.7

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 6.7.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 6.8

Умножим $- \frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$