Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y$

Этап 1

Пусть $u_{1} = \ln (y)$ . Тогда $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , следовательно $y d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = \ln (y)$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (y)$ по $y$ равна $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $y$ в $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Этап 1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $y$ в $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Этап 1.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Этап 2

Пусть $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $1 + u_{1}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

Этап 4

Найдем значение $\ln (| u_{2} |)$ в $2$ и в $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Этап 5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Этап 6.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Этап 6.3

Разделим $2$ на $1$ .

$\ln (2)$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (2)$

Десятичная форма:

$0.69314718 \dots$