Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (2 x) - \sin (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\cos (2 x) - \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Этап 1.2.1.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Этап 1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- \sin (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Этап 1.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (2 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3.2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \cdot 2)$

Этап 1.3.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$- 2 \sin (2 x) - (2 \cdot \cos (2 x))$

Этап 1.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (2 x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$- 2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$- 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$- 2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (2 x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Этап 2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- 2 \sin (2 x))$

Этап 2.3.7

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$