Математический анализ Примеры

$y = (4 x^{3} + 8) (2 x^{7} - 3)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((4 x^{3} + 8) (2 x^{7} - 3))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x^{3} + 8$ и $g (x) = 2 x^{7} - 3$ .

$(4 x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 3] + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $2 x^{7} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(4 x^{3} + 8) (\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Этап 3.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{7}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$(4 x^{3} + 8) (2 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$(4 x^{3} + 8) (2 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Этап 3.2.4

Умножим $7$ на $2$ .

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6} + 0) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Этап 3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Добавим $14 x^{6}$ и $0$ .

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6}) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Этап 3.2.6.2

Перенесем $14$ влево от $4 x^{3} + 8$ .

$14 \cdot (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Этап 3.2.7

По правилу суммы производная $4 x^{3} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.2.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.2.10

Умножим $3$ на $4$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.2.11

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2} + 0)$

Этап 3.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.12.1

Добавим $12 x^{2}$ и $0$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2})$

Этап 3.2.12.2

Перенесем $12$ влево от $2 x^{7} - 3$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + 12 \cdot (2 x^{7} - 3) x^{2}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(14 (4 x^{3}) + 14 \cdot 8) x^{6} + 12 (2 x^{7} - 3) x^{2}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7} - 3) x^{2}$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + (12 (2 x^{7}) + 12 \cdot - 3) x^{2}$

Этап 3.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Этап 3.3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Умножим $4$ на $14$ .

$56 x^{3} x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Этап 3.3.5.2

Умножим $x^{3}$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1

Перенесем $x^{6}$ .

$56 (x^{6} x^{3}) + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Этап 3.3.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$56 x^{6 + 3} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Этап 3.3.5.2.3

Добавим $6$ и $3$ .

$56 x^{9} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Этап 3.3.5.3

Умножим $14$ на $8$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Этап 3.3.5.4

Умножим $2$ на $12$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{7} x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Этап 3.3.5.5

Умножим $x^{7}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 (x^{2} x^{7}) + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Этап 3.3.5.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{2 + 7} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Этап 3.3.5.5.3

Добавим $2$ и $7$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{9} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Этап 3.3.5.6

Умножим $12$ на $- 3$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{9} - 36 x^{2}$

Этап 3.3.5.7

Добавим $56 x^{9}$ и $24 x^{9}$ .

$80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$