Математический анализ Примеры

$y'' + 3 y' + 2 y = 6$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$

Этап 2

Предположим, что все решения имеют вид $y = e^{r x}$ .

Этап 3

Найдем характеристическое уравнение для $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Этап 3.2

Найдем вторую производную.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Этап 3.3

Подставим в дифференциальное уравнение.

$r^{2} e^{r x} + 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 6$

Этап 3.4

Избавимся от скобок.

$r^{2} e^{r x} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Этап 3.5

Вынесем $e^{r x}$ за скобки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Этап 3.5.4

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 6$

Этап 3.5.5

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r + 2) = 6$

Этап 3.6

Так как экспоненциальные выражения не могут быть равны нулю, разделите обе части на $e^{r x}$ .

$r^{2} + 3 r + 2 = 6$

Этап 4

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} + 3 r + 2 - 6 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $6$ из $2$ .

$r^{2} + 3 r - 4 = 0$

Этап 4.3

Разложим $r^{2} + 3 r - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $3$ .

$- 1, 4$

Этап 4.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(r - 1) (r + 4) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 4 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $r - 1$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $r - 1$ к $0$ .

$r - 1 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$r = 1$

Этап 4.6

Приравняем $r + 4$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $r + 4$ к $0$ .

$r + 4 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$r = - 4$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(r - 1) (r + 4) = 0$ верно.

$r = 1, - 4$

Этап 5

По двум найденным значениям $r$ можно найти два решения.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- 4 x}$

Этап 6

Согласно принципу суперпозиции, общее решение является линейной комбинацией двух решений для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- 4 x}$

Этап 7

Умножим $x$ на $1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- 4 x}$