Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x + 11}}{\sqrt{x - 1}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 11}}{lim_{x \to 5} \sqrt{x - 1}}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 11}}{lim_{x \to 5} \sqrt{x - 1}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 11}}{lim_{x \to 5} \sqrt{x - 1}}$

Этап 4

Найдем предел $11$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 11}}{lim_{x \to 5} \sqrt{x - 1}}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 11}}{\sqrt{lim_{x \to 5} x - 1}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 11}}{\sqrt{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 1}}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 11}}{\sqrt{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{5 + 11}}{\sqrt{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{5 + 11}}{\sqrt{5 - 1 \cdot 1}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим $5$ и $11$ .

$\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{5 - 1 \cdot 1}}$

Этап 9.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{5 - 1 \cdot 1}}$

Этап 9.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{4}{\sqrt{5 - 1 \cdot 1}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{5 - 1}}$

Этап 9.2.2

Вычтем $1$ из $5$ .

$\frac{4}{\sqrt{4}}$

Этап 9.2.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 9.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{4}{2}$

Этап 9.3

Разделим $4$ на $2$ .

$2$