Математический анализ Примеры

$\int (2 x + 1) {(x - 6)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 6$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 6$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (2 (u + 6) + 1) u^{2} d u$

Этап 2

Развернем $(2 (u + 6) + 1) u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (2 u + 2 \cdot 6 + 1) u^{2} d u$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (2 u + 2 \cdot 6) u^{2} + 1 u^{2} d u$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 u \cdot u^{2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Этап 2.4

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{2}) + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 u^{1 + 2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $2$ .

$\int 2 u^{3} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $6$ .

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Этап 2.8

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + u^{2} d u$

Этап 2.9

Добавим $12 u^{2}$ и $u^{2}$ .

$\int 2 u^{3} + 13 u^{2} d u$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 13 u^{2} d u$

Этап 6

Поскольку $13$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $13$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 \int u^{2} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$2 (\frac{1}{4}) u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Этап 8.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Этап 8.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Этап 8.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Этап 8.2.3

Объединим $13$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} u^{4} + \frac{13}{3} u^{3} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x - 6$ .

$\frac{1}{2} {(x - 6)}^{4} + \frac{13}{3} {(x - 6)}^{3} + C$