Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} {(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})}$ .

$lim_{x \to 2} e^{\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})$ , вынося $\frac{1}{x - 2}$ из логарифма.

$lim_{x \to 2} e^{\frac{1}{x - 2} \ln (\frac{x}{2})}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \ln (\frac{x}{2})}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{x - 2}$ и $\ln (\frac{x}{2})$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x}{2})}{x - 2}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to 2} \ln (\frac{x}{2})}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 2} \frac{x}{2})}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Этап 3.1.2.1.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} lim_{x \to 2} x)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Этап 3.1.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Этап 3.1.2.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}}$

Этап 3.1.3.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$e^{\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}}$

Этап 3.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e^{\frac{0}{2 - 2}}$

Этап 3.1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x}{2})}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Этап 3.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Этап 3.3.4

Умножим $\frac{2}{x}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Этап 3.3.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Этап 3.3.6

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Этап 3.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Этап 3.3.7.2

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Этап 3.3.9

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

Этап 3.3.10

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}}$

Этап 3.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}}$

Этап 3.3.12

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}}$

Этап 3.3.13

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x} \cdot 1}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x}}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 2} x}}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$e^{\frac{1}{2}}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{\frac{1}{2}}$

Десятичная форма:

$1.64872127 \dots$