Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{3} - 5 x^{2} + 2$ at $x = - 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = - {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Этап 1.2

Упростим $- {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$y = {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Этап 1.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = {(- 1)}^{1 + 3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Этап 1.2.1.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

$y = {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Этап 1.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$y = 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Этап 1.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = 1 - 5 \cdot 1 + 2$

Этап 1.2.1.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$y = 1 - 5 + 2$

Этап 1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вычтем $5$ из $1$ .

$y = - 4 + 2$

Этап 1.2.2.2

Добавим $- 4$ и $2$ .

$y = - 2$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 1$ и $y = - 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x^{3} - 5 x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$- 3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{2} - 10 x + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 3 x^{2} - 10 x$ и $0$ .

$- 3 x^{2} - 10 x$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = - 1$ .

$- 3 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 3 \cdot 1 - 10 \cdot - 1$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1$

Этап 2.6.1.3

Умножим $- 10$ на $- 1$ .

$- 3 + 10$

Этап 2.6.2

Добавим $- 3$ и $10$ .

$7$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $7$ и координаты заданной точки $(- 1, - 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = 7 \cdot (x - (- 1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $7 \cdot (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y + 2 = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 2 = 7 x + 7 \cdot 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $7$ на $1$ .

$y + 2 = 7 x + 7$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = 7 x + 7 - 2$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $2$ из $7$ .

$y = 7 x + 5$

Этап 4