Математический анализ Примеры

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Этап 5

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 5.1.2

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 5.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{x {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 5.1.4

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 5.1.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 5.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 5.1.5.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$x = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 5.1.5.2

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.2.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Этап 5.1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.2.2.1

Умножим на $1$ .

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 5.1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 5.1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Этап 5.1.5.2.2.4

Разделим $B (x + 1)$ на $1$ .

$x = A + B (x + 1)$

Этап 5.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = A + B x + B \cdot 1$

Этап 5.1.5.4

Умножим $B$ на $1$ .

$x = A + B x + B$

Этап 5.1.6

Изменим порядок $A$ и $B x$ .

$x = B x + A + B$

Этап 5.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = B$

Этап 5.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 5.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = B$

$0 = A + B$

$1 = B$

$0 = A + B$

Этап 5.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем уравнение в виде $B = 1$ .

$B = 1$

$0 = A + B$

Этап 5.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = A + B$ на $1$ .

$0 = A + 1$

$B = 1$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = A + 1$

$B = 1$

$0 = A + 1$

$B = 1$

$0 = A + 1$

$B = 1$

Этап 5.3.3

Решим относительно $A$ в $0 = A + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A + 1 = 0$ .

$A + 1 = 0$

$B = 1$

Этап 5.3.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

Этап 5.3.4

Решим систему уравнений.

$A = - 1 B = 1$

Этап 5.3.5

Перечислим все решения.

$A = - 1, B = 1$

Этап 5.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{x + 1}$

Этап 5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 8

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 8.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$2 (- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 9

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 (- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 9.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 9.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 (- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$2 (- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 11

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 11.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 11.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 (- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 13

Упростим.

$2 (\frac{1}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |)) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 1$ .

$2 (\frac{1}{x + 1} + \ln (| u_{2} |)) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$2 (\frac{1}{x + 1} + \ln (| x + 1 |)) + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 (\frac{1}{x + 1} + \ln (| x + 1 |)) + C$