Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 3 + h)}^{- 1} + 3^{- 1}}{h}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Преобразуем числа с отрицательными показателями в дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} + 3^{- 1}}{h}$

Этап 1.1.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} + \frac{1}{3}}{h}$

Этап 1.1.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы записать $\frac{1}{- 3 + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{h}$

Этап 1.1.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 3 + h}{- 3 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 + h}{- 3 + h}}{h}$

Этап 1.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(- 3 + h) \cdot 3$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{- 3 + h}$ на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{(- 3 + h) \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 + h}{- 3 + h}}{h}$

Этап 1.1.2.3.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{- 3 + h}{- 3 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{(- 3 + h) \cdot 3} + \frac{- 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Этап 1.1.2.3.3

Изменим порядок множителей в $(- 3 + h) \cdot 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{3 (- 3 + h)} + \frac{- 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Этап 1.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 - 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Этап 1.1.2.5

Вычтем $3$ из $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Этап 1.1.2.6

Добавим $0$ и $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Этап 1.2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{h}{3 (- 3 + h)}$ на $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h) h}$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h) h}$

Этап 1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{3 (- 3 + h)}$

Этап 1.3

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{- 3 + h}$

Этап 1.4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} - 3 + h}$

Этап 1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} - 3 + h}$

Этап 1.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- lim_{h \to 0} 3 + lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.7

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 3 + lim_{h \to 0} h}$

Этап 2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 3 + 0}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3 + 0}$

Этап 3.1.2

Добавим $- 3$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

Этап 3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

Этап 3.3

Умножим $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

Этап 3.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{1}{9}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{9}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{1}$