Математический анализ Примеры

$\int \frac{4 t}{t - t^{2}} d t$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $t$ из $t - t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int \frac{4 t}{t^{1} - t^{2}} d t$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$\int \frac{4 t}{t \cdot 1 - t^{2}} d t$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $t$ из $- t^{2}$ .

$\int \frac{4 t}{t \cdot 1 + t (- t)} d t$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot 1 + t (- t)$ .

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{4}{1 - t} d t$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{1}{1 - t} d t$

Этап 3

Пусть $u = 1 - t$ . Тогда $d u = - d t$ , следовательно $- d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 1 - t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 3.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

Этап 8

Упростим.

$- 4 \ln (| u |) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $1 - t$ .

$- 4 \ln (| 1 - t |) + C$