Математический анализ Примеры

$2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{2} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{2} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 8.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 8.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int x^{- 2} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (- x^{- 1} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{2 x^{3}}{3} - - x^{- 1} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 1 x^{- 1} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $x^{- 1}$ на $1$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + x^{- 1} + C$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{3} x^{3} + x^{- 1} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + x^{- 1} + C$