Математический анализ Примеры

$\int (3 x^{3} + 5 x^{- 2} + 6 x^{2}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 3 x^{3} + 5 x^{- 2} + 6 x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 x^{3} d x + \int 5 x^{- 2} d x + \int 6 x^{2} d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x^{3} d x + \int 5 x^{- 2} d x + \int 6 x^{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 5 x^{- 2} d x + \int 6 x^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 5 \int x^{- 2} d x + \int 6 x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 5 (- x^{- 1} + C) + \int 6 x^{2} d x$

Этап 7

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 5 (- x^{- 1} + C) + 6 \int x^{2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 5 (- x^{- 1} + C) + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{5}{x} + 6 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{5}{x} + 6 \frac{x^{3}}{3} + C$

Этап 9.2.2

Объединим $6$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{5}{x} + \frac{6 x^{3}}{3} + C$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{5}{x} + \frac{3 (2 x^{3})}{3} + C$

Этап 9.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{5}{x} + \frac{3 (2 x^{3})}{3 (1)} + C$

Этап 9.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{5}{x} + \frac{3 (2 x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Этап 9.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{5}{x} + \frac{2 x^{3}}{1} + C$

Этап 9.2.3.2.4

Разделим $2 x^{3}$ на $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{5}{x} + 2 x^{3} + C$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{4} x^{4} - \frac{5}{x} + 2 x^{3} + C$