Математический анализ Примеры

$\frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} d x$

Этап 5.2

Вынесем $x^{\frac{3}{4}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{4} \int {(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1} d x$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int x^{\frac{3}{4} \cdot - 1} d x$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{4}} d x$

Этап 5.3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int x^{\frac{- 3}{4}} d x$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{3}{4}}$ по $x$ имеет вид $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{\frac{1}{4}} + C)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{1}{4} (4 x^{\frac{1}{4}} + C)$ в виде $\frac{1}{4} \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$\frac{4}{4} x^{\frac{1}{4}} + C$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4} x^{\frac{1}{4}} + C$

Этап 7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 x^{\frac{1}{4}} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $x^{\frac{1}{4}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{4}} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^{3}}}$ .

$F (x) =$ $x^{\frac{1}{4}} + C$