Математический анализ Примеры

$\int (4 x - 1) (3 x + 1) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 4 x (3 x + 1) - 1 (3 x + 1) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 4 x (3 x) + 4 x \cdot 1 - 1 (3 x + 1) d x$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 4 x (3 x) + 4 x \cdot 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.4

Перенесем $x$ .

$\int 4 \cdot 3 x \cdot x + 4 x \cdot 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.5

Перенесем $x$ .

$\int 4 \cdot 3 x \cdot x + 4 \cdot 1 x - 1 (3 x) - 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.6

Умножим $4$ на $3$ .

$\int 12 x \cdot x + 4 \cdot 1 x - 1 \cdot 3 x - 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 12 (x^{1} x) + 4 \cdot 1 x - 1 \cdot 3 x - 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 12 (x^{1} x^{1}) + 4 \cdot 1 x - 1 \cdot 3 x - 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 12 x^{1 + 1} + 4 \cdot 1 x - 1 \cdot 3 x - 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 12 x^{2} + 4 \cdot 1 x - 1 \cdot 3 x - 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.11

Умножим $4$ на $1$ .

$\int 12 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 3 x - 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.12

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\int 12 x^{2} + 4 x - 3 x - 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int 12 x^{2} + 4 x - 3 x - 1 d x$

Этап 1.14

Вычтем $3 x$ из $4 x$ .

$\int 12 x^{2} + x - 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 12 x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 3

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$4 x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + C$

Этап 8.2

Изменим порядок членов.

$4 x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$