Математический анализ Примеры

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Этап 2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$4 \cos^{3} (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin^{4} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \cos (x))$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $4 \cos (x) \sin (x)$ из $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $4 \cos (x) \sin (x)$ из $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $4 \cos (x) \sin (x)$ из $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $4 \cos (x) \sin (x)$ из $4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Этап 4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x))$

Этап 4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x)))$

Этап 4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)))$

Этап 4.5

Переставляем члены.

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))$

Этап 4.6

Применим формулу Пифагора.

$4 \cos (x) \sin (x) (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 \cos (x) \sin (x) \cdot - 1$

Этап 4.8

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x)$