Математический анализ Примеры

$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{2} + \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} - x^{- 1} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{- 1} + C$