Математический анализ Примеры

$y = \frac{1 + 3 x}{2 - x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 + 3 x}{2 - x^{2}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + 3 x$ и $g (x) = 2 - x^{2}$ .

$\frac{(2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 3 x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $1 + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{(2 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(2 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [3 x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{(2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 - x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.5

Перенесем $3$ влево от $2 - x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) \cdot 1 - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.8

По правилу суммы производная $2 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) - (1 + 3 x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.12.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) + 1 (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.12.2

Умножим $1 + 3 x$ на $1$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) + (1 + 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) + (1 + 3 x) (2 x)}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.14

Перенесем $2$ влево от $1 + 3 x$ .

$\frac{3 (2 - x^{2}) + 2 \cdot (1 + 3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + 2 (1 + 3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + (2 \cdot 1 + 2 (3 x)) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 + 3 (- x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 \cdot 1 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 x) x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 (x \cdot x))}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 2 (3 x^{2})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.5

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 - 3 x^{2} + 2 x + 6 x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Добавим $- 3 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$\frac{6 + 3 x^{2} + 2 x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.5

Изменим порядок членов.

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 2 x + 6}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$